yapay sinir ağlar nasıl çalışır

Yapay Sinir Ağları

ağ

SİSTEM MODELLEME

Doğa bilimleri, sosyal bilimler, mühendislik, iş dünyası ve finansın birkaç örnek başlık olarak sıralanabileceği çeşitli alanlarda modelleme ve öngörü gerçekleştirilmesi arzu edilen ve dolayısı ile yoğun çaba sarfedilen araştırma konularıdır. İncelenen sistemin giriş-çıkış ilişkisini tanımlayan ifadeye matematik model veya kısaca model denir [1].

Sistemin modeli, giriş uzayı u’dan çıkış uzayı y’ye bir P operatörü olarak tanımlanır ve tanımlama işlemiyle P’nin ait olduğu  kümesinin özellikleri yakalanmaya çalışılır.  kümesi verilmiş ve P olduğu biliniyorken, tanımlama işleminin hedefi  olmak kayıdıyla öyle bir  elemanı tespit etmektir ki  iken , P’ye arzu edilen tarzda yaklaşsın [2].

Modelleme işleminde kullanılan iki temel yaklaşımın ilki, kümelendirilmiş parametre modellemesi(lumped-parameter modelling), ikincisi ise sistem tanımadır [1]. Kümelendirilmiş parametre modellemesi yaklaşımında, sistem, giriş-çıkış ilişkisi basitçe ifade edilebilen bileşenlerle yapılandırılmaya çalışılır. Sistem tanıma yaklaşımında ise deneysel olarak elde edilmiş veya hipotetik olarak üretilmiş giriş-çıkış verilerinin kullanılarak sistemin matematik modelinin kurulmasına çalışılır. Sistem tanıma, parametrik ve nonparametrik başlıkları altında iki grupta incelenebilir. Parametrik model,  sonlu sayıda parametre ile tamamen belirlenen fonksiyonel bir formu benimsediği halde nonparametrik modelde ne fonksiyonel form ne de parametre sayısı ile ilgili bir kısıtlama vardır.

Modelin kurulabilmesi için üç temel gereksinim:

1.      Giriş-çıkış verisi

2.      Model adaylarının belirlenmesi

3.      Modelin seçim kriteridir.

Gelecekteki verilerin istatistiksel özelliklerinin geçmiştekilerle uyumlu olacağı varsayımından hareketle, modellemeye konu olan sisteme ait geçmişe dönük verilerin istatistiksel özelliklerinden yararlanılarak kurulan modele zaman-serisi modeli denir. Modelin, geçmişteki verileri yeterli doğrulukta sağlaması kadar gelecekte tekrarlanma ihtimali yüksek özellikleri tanımlaması da gereklidir.

“Kestirim zordur; özellikle, geleceğe dönükse” Nils Bohr.

Sistemin karmaşıklığı veya hedefin hassaslığına bağlı olarak, tasarlanan modellerin yoğun işlem gerektiren algoritmalarının geçerliliği, gelişen teknolojinin harikası ve vazgeçilmez unsuru bilgisayarların elverdiği kolaylıkla ve hızla sınanabilmektedir. Sınamayı başarıyla geçen modeller öngörü işleminde kullanılmaktadır. Başarılı modellerin sahip olması istenilen diğer özellikler:

·         Parametre sayısı asgariye indirilmeli

·         Parametrelerin kestirimi kolay olmalı

·         Parametreler fiziksel olarak anlamlıca yorumlanabilir olmalıdır.

İdeal durumda, yukarıdaki maddeler de gerçeklenmiş olacaktır, modelin lineer olması arzu edilir. Bir H sistemi,   ve     keyfi giriş değerleri ve  keyfi sabitleri için;

                                                                        (2.1a)

ağ

denklemini sağlıyorsa; lineerdir. Bu denklemde lineer sistemlerin taşıdığı iki özellik olan toplanabilirlik ve homojenlik verilmiştir. Ayrı ayrı (2.1a) ve (2.1b) şeklindedirler:

1.      Toplanabilirlik özelliği:

                                                                                     (2.1b)

2.      Homojenlik özelliği:

                                                                                                         (2.1c)

Bu özellikler, süperpozisyon ilkesi sayesinde sonlu olmak kaydı ile keyfi sayıda giriş teriminin toplamına genişletilebilir. Özelliklerden birinin sağlanamadığı durumda sistemin nonlineer oluşuna delil elde edilmiş olunur. Yapılabilecekler sistemin lineerleştirilmesi veya nonlineerlik ile başedebilecek bir tanıma algoritmasının geliştirilmesi ile sınırlıdır. Lineer sistemler için geliştirilmiş pek çok tanıma algoritması mevcuttur. Ancak, ilgi alanı nonlineer sistemlere kaydığında olanaklar kısıtlıdır. Yapay sinir ağlarının nonlineer ilişkileri öğrenme ve arzulanan toleranslar dahilinde yaklaşımda bulunma yeteneği duyulan ilginin sebeplerindendir.

Öncelikle parametrik modellerden AR modeli hakkında kısa bilgi verilecek ve parametrik olmayan modellerden yapay sinir ağları Bölüm 3’ te detaylı bir şekilde ele alınacaktır.

1.1. Parametrik Model

1.1.1. AR Modeli

Giriş-çıkış ilişkisini basitçe tanımlayan fark denkleminin genel ifadesi (2.2) ile verilmiştir.  ve  sabit çarpanlar,  çıkış değerleri ve  giriş değerleri dizisi olmak üzere,

                                                                       (2.2)

Bu denklem, n anındaki çıkışın, önceki çıkış değerlerine bağlılığını sağlayan  katsayıları ve önceki giriş değerlerine bağlılığını sağlayan  katsayılarını içerdiğinden ARMA modeli olarak anılır. Özel durumlar olarak, AR ve MA modelleri, sırasıyla, (2.2a) ve (2.2b) numaralı denklemlerle tanımlanırlar [3].

·         Model:

                                                                                     (2.2a)

·         Model                                                                                            (2.2b)

AR modelin revaçta olmasının altında yatan başlıca sebep, AR parametrelerinin hesabı için kullanılan yöntemlerin çoğunun doğrusal denklem takımlarının çözümüne dayanması nedeniyle kolay olmasıdır.

1.1.2. AR Model Mertebesinin Belirlenmesi

AR model mertebesi için en iyi değer, genellikle, önceden bilinemez. Düşük mertebeli modeller az bilgi içeren spektral kestirim sonucu üretirken çok yüksek mertebeli modellerin kestirimi sahte detaylar verme eğilimindedir. AR model mertebesi arttıkça kestirimin gücü azalır. Buna karşı kestirim hatası  gücü, artan model mertebesiyle monoton azaldığından arama sürecinin ne zaman durdurulması gerektiği açık değildir.

Model mertebesi, ikisi Akaike tarafından ortaya atılmış çeşitli kriterler doğrultusunda belirlenebilir. Akaike’nin ilk kriteri, nihai kestirim hatası (final prediction error(FPE)) adıyla anılır. Veri sayısı N, model mertebesi , karşılık gelen kestirim hatası gücü  olmak üzere AR modelinin FPE’si (2.3) eşitliği ile tanımlanır [4].

                                                                                           (2.3)

Artan p’ye karşılık azaldığı halde (2.3) eşitliğindeki diğer çarpan artar. Artan  ’ye karşılık  değerinin bir minimuma ulaşması beklenir. Minimum  değerini sağlayan  değeri AR mertebesi olarak seçilir.

Akaike’nin ikinci kriteri, kestirim hatasının gücünün, mertebeli filtrenin bir fonksiyonu gibi alınarak log-likelihood’unun minimizasyonuna dayanır. Akaike’nin  bilgi kuramlı kriteri (Akaike Information Theoretic Criterion(AIC)) olarak anılan yaklaşım (2.4) eşitliği ile tanımlıdır.

                                                                                              (2.4)

(2.4) eşitliğindeki ilk terim, artan  değerine karşılık monoton azalır. Eşitlikteki ikinci terim, model mertebesini arttırmaktan doğan ceza terimi olarak düşünülebilir.

Veri sayısı N, sonsuza gittikçe ve  denk olurlar [4].